备考2024年中考数学探究性训练专题13 一次函数

小星在“趣味数学”社团活动中探究了直线交点个数的问题.现有7条不同的直线 ，其中 ，则他探究这7条直线的交点个数最多是（   ）

如图，已知点 ， ， 直线经过点试探究：直线与线段有交点时的变化情况，猜想的取值范围是．

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝x， 作A₁（1，0）关于y＝x的对称点B₁ ， 将点B₁向右水平平移2个单位得到点A₂；再作A₂关于y＝x的对称点B₂ ， 将点B₂向右水平平移2个单位得到点A₃；…．请继续操作并探究：点A₃的坐标是，点B₂₀₁₄的坐标是．

已知合肥到芜湖的距离为千米，现有一辆邮政车往返两城市之间，该邮政车每次到达合肥或芜湖后，均需停留小时再重新出发．暑假期间，合肥某旅游公司计划在同线路上加开一辆旅游大巴车，在试运行期间，该邮政车与旅游大巴车同时从合肥出发，两辆车均保持匀速行驶，经过小时两车第一次相遇．两车之间的距离千米与行驶时间小时之间的部分函数关系如图所示．已知行驶过程时，邮政车的速度大于旅游大巴车的速度，请完成以下探究：

图象法是函数的表示方法之一，下面我们就一类特殊的函数图象展开探究.

	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	…
	…	6	4	2	0	2	4	6	…

画函数的图象，经历列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示： 

探究发现：函数的图象是由向右平移2个单位得到；

函数的图象是由向上平移3个单位得到.

定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程 ， 解得 ， 则的“不动点”为 ．

探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．小腾根据学习函数的经验，对函数与进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：

小宇根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完整．

数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数y＝|x+1|为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系．

请根据以下探究过程，回答问题．

探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.结合已有的学习经验，请画出函数y＝﹣ 的图象并探究该函数的性质.

x	…	﹣4	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	2	3	4	…
y	…	﹣	a	﹣2	﹣4	b	﹣4	﹣2	﹣	﹣	…

探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．                                                                                                                                                                                  

x	…				0	1	2	3	…
y	…		a	0	2	b			…

有这样一个问题：探究函数的图象与性质．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整．

探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．

探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

				0	1	2	3	4	5
		6	5	4		2	1		7

（数学问题）在同一直角坐标系内直线 与 ，当 满足什么条件时，这两条直线互相垂直？

探究问题：我们采取一般问题特殊化的策略来进行探究．

探究一：如图①，在同一直角坐标系内直线 与 有怎样的位置关系？

解：如图①，设点 在直线 上，则点 一定在直线 上．过点 分别作 的垂线，垂足分别为 ．

则 ，

∴

∵

∴

所以，在同一直角坐标系内直线 与 互相垂直．

探究二：如图②，在同一直角坐标系内直线 上，则点 一定在直线 上．过点 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ．

∵ ， ， ，

∴ ，

又∵

∴

∴

又∵

∴

∵

∴

所以，在同一直角坐标系内直线 与 互相垂直．

探究三：如图③，在同一直角坐标系内直线 与 有怎样的位置关系？

（仿照上述方法解答，写出探究过程）

如图，在等腰中， ， ， 点为中点，点从点出发，沿方向以每秒的速度匀速运动到点设点的运动时间为秒，的面积为 ．
根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化规律进行探究．

有这样一个问题：探究函数 的图象与性质．

小东根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．

下面是小东的探究过程，请补充完成：

学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整．

如图

问题提出：

如图，等腰中， ， ， 直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证： ；

问题探究：

如图2，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为腰在第二象限作等腰直角 ， ， 求点C的坐标；

问题解决：

古城西安已经全面迎来地铁时代！继西安地铁2号线于2011年9月16日通车试运行以来，共有八条线路开通运营，极大促进了西安市的交通运输，目前还有多条线路正在修建中．如图，地铁某线路原计划按OA-AB的方向施工，由于在AB方向发现一处地下古建筑，地铁修建须绕开此区域．经实地勘测，若将AB段绕点A顺时针或逆时针方向旋转45°至AC或AD方向，则可以绕开此区域．已知OA长为1千米，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系，且射线AB与直线平行，请帮助施工队计算出AC和AD所在直线的解析式．

数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系．

请根据以下探究过程，回答问题．

【定义】如图1，在同一平面内，点在线段所在直线的两侧，若 ， 且 ， 则称点与是线段的等垂对称点。

 

先阅读下列材料，然后解决问题：

【阅读感悟】

在平面直角坐标系中，已知点 ， 当t的值发生改变时，点Q的位置也会发生改变，为了求点Q运动所形成的图象的解析式，令点Q的横坐标x ， 纵坐标y ， 得到了方程组消去t ， 得 ， 即 ， 可以发现，点随t的变化而运动所形成的图象的解析式是 ．

【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中， ， ， 直线DE经过点 ， 过作于点 ． 过作于点 ， 则 ， 我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）

【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于A、B两点．

图1 图2图3 图4

综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交轴、轴于点 ， 一次函数的图象经过点 ， 并与轴交于点 ，

【模型介绍】

如图 ， ， ， 过点作于点 ， 过点作于点 ． 则 ． 我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型．

【模型应用】

在平面直角坐标系中，直线与轴交于点 ， 与轴交于点 ．

根据表中素材，探索完成以下任务：

建设“美丽乡村”，落实“乡村振兴”
问题情境	素材1	已知甲、乙两仓库分别有水泥40吨和60吨．
	素材2	现在A村需要水泥48吨，B村需要水泥52吨．
	素材3	从甲仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨； 从乙仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨．
问题解决	分析	设从甲仓库运往A村水泥x吨，补全以下表格．   运量（吨） 运费（元） 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A村 x B村 ① ▲  ② ▲
	问题1	设总运费为y元，请写出y与x的函数关系式并求出最少总运费．
	问题2	为了更好地支援乡村建设，甲仓库运往A村的运费每吨减少元，这时甲仓库运往A村的水泥多少吨时总运费最少？最少费用为多少元？（用含a的代数式表示）

缂丝，是中国传统丝绸艺术品中的精华．缂丝织造技艺主要是使用古老的木机（如图①）及若干竹制的梭子和拨子，经过“通经断纬”的织造方法，将五彩的蚕丝线缂织成一幅色彩丰富的织物．缂丝工匠现要完成一件织品，工作一段时间后，记录了工作时间和织品长度的数据变化，并从函数角度进行了如下实验探究．

          图①

【数据观察】记录的工作时间x（时）和织品长度y（厘米）的数据变化，如下表：

工作时间x（时）	0	2	4	6	8
织品长度y（厘米）	3	3.6	4.2	4.8	5.4

【探索发现】

小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：

时间t(分钟)	1	2	3	4	5	***
总水量y(毫升)	7	12	17	22	27	…

综合与实践：.

【问题情境】

小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：

	售价（元/盆）	日销售量（盆）
A	20	50
B	30	30
C	18	54
D	22	46
E	26	38

【数据整理】

某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表．

飞行时间	0	2	4	6	8	…
飞行水平距离	0	10	20	30	40	…
飞行高度	0	22	40	54	64	…

五子棋的比赛规则是：只要同色5子连成一条直线为胜利．如图是两人玩的一盘棋，若白棋①的位置是（1，﹣5），黑棋②的位置是（2，﹣4）．解答下列问题：

综合与实践．

【问题情境】“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图（a）所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．

【实验观察】下表是实验记录的圆柱容器液面高度与时间的数据：

时间	1	2	3	4	5
6圆柱容器液面高度	6	10	14	18	22

 综合与实践

如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为 ．

【问题提出】

小组同学提出这样一个问题：若 ， 能否围出矩形地块？

【问题探究】

小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：

设为 ， 为 ． 由矩形地块面积为 ， 得到 ， 满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为 ， 得到 ， 满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．

如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和    ▲      ， 因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为： ， ；或    ▲     m ，     ▲     m ．