选择题(每小题2分,共12分)
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如图,一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线,喷水头的高度(即OB的长度)是1米.当喷射出的水流距离喷水头8米时,达到最大高度1.8米,水流喷射的最远水平距离OC是( )
- A、 20米
- B、 18米
- C、 10米
- D、 8米
填空题(每小题3分,共24分)
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点P(5,﹣8)关于原点对称点P'的坐标为.
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抛物线y=(x﹣1)2的对称轴是直线 .
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如图,该图形绕着点O旋转能与自身完全重合,则旋转角最小为 °.
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在二次函数y=3(x﹣6)2+1中,当x>6时,y随x的增大而 (填“增大”或“减小”).
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解方程:(x﹣7)(x﹣2)=0,则方程的两个根是x1=,x2=,
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如图,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转75°后得到△A1B1C,若∠ACB=25°,则∠BCA1的度数为 .
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请写出一个开口向下,并且与y轴交于点(0,5)的抛物线解析式 .
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某商店去年投资了2万元采购文具商品,由于文具商品销量较好,采购量逐年上升,预计明年用于采购文具商品的投资额达4.5万元,假设每年用于采购文具商品的投资额的平均增长率为x,则依题意可列方程为 .
解答题(每小题5分,共20分)
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解方程:x2+x=6.
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已知二次函数的图象的顶点坐标为(﹣2,﹣3),且图象过点(﹣3,﹣2),求这个二次函数的解析式.
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如图,△ABC中,∠ABC=60°,将△ABC绕点B逆时针旋转60°到△DBE,DE的延长线与AC相交于点F,连接DA、BF.
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图①、图②均是6×6的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长均为1,点A、B、C、D均在格点上,在图①,图②中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写出画法.
解答题(每小题7分,共28分)
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已知抛物线L:y=(m﹣2)x2+x﹣2m(m是常数且m≠2).
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已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣2(k﹣1)x+k(k+2)=0 有两个不相等的实数根.
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如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,4),B(1,2),C(5,3).
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平面直角坐标系中,点A坐标为(﹣1,0),直线y1=﹣x+3与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0),经过A、B、C三点,直线x=1.5交抛物线于点D,交BC于E,连接CD、BD.
解答题(每小题8分,共16分)
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如图,已知正方形OCDE中,顶点E(1,0),抛物线y=x2+bx+c经过点C、D,与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧),直线x=t(t≠0)交x轴于点F.
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综合与探究
【问题情境】
数学活动课上,老师带领同学们一起探索旋转的奥秘.老师出示了一个问题:如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D是边BC上一点 , 连接AD,将△ABD绕着点A按逆时针方向旋转,使AB与AC重合,得到△ACE.
解答题(每小题10分,共20分)
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如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,以A为原点,AB、AD所在直线为x轴、y轴,建立平面直角坐标系.正方形ABCD的边长是方程x2﹣8x+16=0的根.点P从点B出发,沿BC﹣CD向点D运动,同时点Q从点E出发,沿EB﹣BC向点C运动,点P的速度是每秒2个单位长度,点Q的速度是每秒1个单位长度.当点P运动到点D时,P、Q两点同时停止运动.设点P运动的时间为t秒,△APQ的面积为S.
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在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+2过点A(﹣6,﹣4)且与y轴交于点B,抛物线的顶点为C.点P为该抛物线上一动点(不与C重合),设点P的横坐标为m.